\(\int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\) [286]

Optimal result

Integrand size = 20, antiderivative size = 235 \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\frac {4 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

4*I*x*arctan(exp(I*(b*x+a)))/b^2-3*x^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))/b-arctanh(cos(b*x+a))/b^3-x*csc(b*x+a)/b^2+3*I*
x*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))/b^2-2*I*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+2*I*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-3*I*
x*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^2-3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^3+3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^3+3/2*x^2*sec(b
*x+a)/b-1/2*x^2*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)/b

Rubi [A] (verified)

Time = 0.56 (sec) , antiderivative size = 235, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 29, number of rules used = 19, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.950, Rules used = {2702, 294, 327, 213, 4505, 14, 6408, 12, 4268, 2611, 2320, 6724, 6874, 4266, 2317, 2438, 2701, 6406, 3855} \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\frac {4 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[In]

Int[x^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((4*I)*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*x^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - ArcTanh[Cos[a + b*x]]/b^3 - (x*Cs
c[a + b*x])/b^2 + ((3*I)*x*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 +
((2*I)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*x*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*PolyLog[3, -E^(I*(a
+ b*x))])/b^3 + (3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*x^2*Sec[a + b*x])/(2*b) - (x^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a
+ b*x])/(2*b)

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 213

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2])^(-1))*ArcTanh[Rt[b, 2]*(x/Rt[-a, 2])]
, x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 294

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^
n)^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Dist[c^n*((m - n + 1)/(b*n*(p + 1))), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 327

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^n
)^(p + 1)/(b*(m + n*p + 1))), x] - Dist[a*c^n*((m - n + 1)/(b*(m + n*p + 1))), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 2317

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2701

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[-(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 2702

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4266

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 4268

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4505

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6406

Int[ArcTanh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[x*(D[u, x]/(1 - u^2)), x], x] /; I
nverseFunctionFreeQ[u, x]

Rule 6408

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan
h[u])/(d*(m + 1))), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 - u^2)), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6874

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-2 \int x \left (-\frac {3 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx \\ & = -\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-2 \int \left (-\frac {3 x \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}-\frac {x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx \\ & = -\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {\int x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{b}+\frac {3 \int x \text {arctanh}(\cos (a+b x)) \, dx}{b} \\ & = \frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {\int \left (-3 x \sec (a+b x)+x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}+\frac {3 \int b x^2 \csc (a+b x) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {3}{2} \int x^2 \csc (a+b x) \, dx+\frac {\int x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac {3 \int x \sec (a+b x) \, dx}{b} \\ & = \frac {6 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {x \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {3 \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {3 \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {\int \left (\frac {\text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b}-\frac {\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}-\frac {3 \int x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac {3 \int x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b} \\ & = \frac {6 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {x \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {(3 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {(3 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(3 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {(3 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {\int \text {arctanh}(\sin (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac {\int \csc (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = \frac {6 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {3 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {\int b x \sec (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = \frac {6 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {\int x \sec (a+b x) \, dx}{b} \\ & = \frac {4 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {\int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2} \\ & = \frac {4 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {i \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {i \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3} \\ & = \frac {4 i x \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {\text {arctanh}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac {x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {2 i \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(613\) vs. \(2(235)=470\).

Time = 6.90 (sec) , antiderivative size = 613, normalized size of antiderivative = 2.61 \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=-\frac {x^2 \csc ^2\left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )}{8 b}-\frac {2 \left (\left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right ) \left (\log \left (1-e^{i \left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right )}\right )-\log \left (1+e^{i \left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right )}\right )\right )-\left (-a+\frac {\pi }{2}\right ) \log \left (\tan \left (\frac {1}{2} \left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right )\right )\right )+i \left (\operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i \left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right )}\right )-\operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i \left (-a+\frac {\pi }{2}-b x\right )}\right )\right )\right )}{b^3}+\frac {2 \log (1-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+3 b^2 x^2 \log (1-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-2 \log (1+\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-3 b^2 x^2 \log (1+\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))+6 i b x \operatorname {PolyLog}(2,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-6 i b x \operatorname {PolyLog}(2,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-6 \operatorname {PolyLog}(3,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+6 \operatorname {PolyLog}(3,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))}{2 b^3}+\frac {x^2 \sec ^2\left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )}{8 b}+\frac {x \csc (a) \sec (a) (-\cos (a)+b x \sin (a))}{b^2}+\frac {x \csc \left (\frac {a}{2}\right ) \csc \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{2 b^2}-\frac {x \sec \left (\frac {a}{2}\right ) \sec \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{2 b^2}+\frac {x^2 \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac {a}{2}\right )-\sin \left (\frac {a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )-\sin \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )\right )}-\frac {x^2 \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac {a}{2}\right )+\sin \left (\frac {a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )+\sin \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )\right )} \]

[In]

Integrate[x^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

-1/8*(x^2*Csc[a/2 + (b*x)/2]^2)/b - (2*((-a + Pi/2 - b*x)*(Log[1 - E^(I*(-a + Pi/2 - b*x))] - Log[1 + E^(I*(-a
+ Pi/2 - b*x))]) - (-a + Pi/2)*Log[Tan[(-a + Pi/2 - b*x)/2]] + I*(PolyLog[2, -E^(I*(-a + Pi/2 - b*x))] - Poly
Log[2, E^(I*(-a + Pi/2 - b*x))])))/b^3 + (2*Log[1 - Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] + 3*b^2*x^2*Log[1 - Cos[a +
b*x] - I*Sin[a + b*x]] - 2*Log[1 + Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - 3*b^2*x^2*Log[1 + Cos[a + b*x] + I*Sin[a
+ b*x]] + (6*I)*b*x*PolyLog[2, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] - (6*I)*b*x*PolyLog[2, Cos[a + b*x] + I*Sin[a +
b*x]] - 6*PolyLog[3, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] + 6*PolyLog[3, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]])/(2*b^3) +
(x^2*Sec[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) + (x*Csc[a]*Sec[a]*(-Cos[a] + b*x*Sin[a]))/b^2 + (x*Csc[a/2]*Csc[a/2 + (b*x)
/2]*Sin[(b*x)/2])/(2*b^2) - (x*Sec[a/2]*Sec[a/2 + (b*x)/2]*Sin[(b*x)/2])/(2*b^2) + (x^2*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[
a/2] - Sin[a/2])*(Cos[a/2 + (b*x)/2] - Sin[a/2 + (b*x)/2])) - (x^2*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[a/2] + Sin[a/2])*(Cos
[a/2 + (b*x)/2] + Sin[a/2 + (b*x)/2]))

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 428 vs. \(2 (208 ) = 416\).

Time = 1.46 (sec) , antiderivative size = 429, normalized size of antiderivative = 1.83

method	result	size
risch	\(\frac {x \left (3 x b \,{\mathrm e}^{5 i \left (x b +a \right )}-2 x b \,{\mathrm e}^{3 i \left (x b +a \right )}-2 i {\mathrm e}^{5 i \left (x b +a \right )}+3 x b \,{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+2 i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2} \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-1\right )^{2} \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+1\right )}-\frac {\ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right )}{b^{3}}-\frac {3 \operatorname {polylog}\left (3, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {3 \operatorname {polylog}\left (3, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {\ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-1\right )}{b^{3}}-\frac {3 i x \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2}}-\frac {4 i a \arctan \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {3 a^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-1\right )}{2 b^{3}}-\frac {3 a^{2} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{2 b^{3}}-\frac {2 i \operatorname {dilog}\left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {3 \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) x^{2}}{2 b}+\frac {2 i \operatorname {dilog}\left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {2 \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{2}}+\frac {3 i x \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2}}+\frac {2 \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{3}}-\frac {2 \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{3}}-\frac {2 \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{2}}+\frac {3 \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x^{2}}{2 b}\)	\(429\)

[In]

int(x^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

x/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2/(exp(2*I*(b*x+a))+1)*(3*x*b*exp(5*I*(b*x+a))-2*x*b*exp(3*I*(b*x+a))-2*I*exp(5*I*(
b*x+a))+3*x*b*exp(I*(b*x+a))+2*I*exp(I*(b*x+a)))-1/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^3+3
*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^3+1/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3*I*x*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^2-4*I/b^3*a*arctan
(exp(I*(b*x+a)))+3/2/b^3*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/2/b^3*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))-2*I/b^3*dilog(1+I*exp(I*(b*
x+a)))-3/2/b*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+2*I/b^3*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))+2/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+3*I*x*p
olylog(2,-exp(I*(b*x+a)))/b^2+2/b^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-2/b^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-2/b^2*ln(1-I*exp(I
*(b*x+a)))*x+3/2/b*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1237 vs. \(2 (197) = 394\).

Time = 0.33 (sec) , antiderivative size = 1237, normalized size of antiderivative = 5.26 \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(6*b^2*x^2*cos(b*x + a)^2 - 4*b^2*x^2 + 4*b*x*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - 6*(I*b*x*cos(b*x + a)^3 - I*b*x*
cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(-I*b*x*cos(b*x + a)^3 + I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(cos(
b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 4*(-I*cos(b*x + a)^3 + I*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 4*(
-I*cos(b*x + a)^3 + I*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 4*(I*cos(b*x + a)^3 - I*cos(b*x + a
))*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 4*(I*cos(b*x + a)^3 - I*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b
*x + a)) - 6*(I*b*x*cos(b*x + a)^3 - I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(-I*b*x*cos
(b*x + a)^3 + I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((3*b^2*x^2 + 2)*cos(b*x + a)^3 - (3
*b^2*x^2 + 2)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + 4*(a*cos(b*x + a)^3 - a*cos(b*x + a))*log
(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - ((3*b^2*x^2 + 2)*cos(b*x + a)^3 - (3*b^2*x^2 + 2)*cos(b*x + a))*log(cos(
b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 4*(a*cos(b*x + a)^3 - a*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)
- 4*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 - (b*x + a)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*x + a)*
cos(b*x + a)^3 - (b*x + a)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3
- (b*x + a)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 - (b*x + a)*co
s(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + ((3*a^2 + 2)*cos(b*x + a)^3 - (3*a^2 + 2)*cos(b*x + a))*
log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + ((3*a^2 + 2)*cos(b*x + a)^3 - (3*a^2 + 2)*cos(b*x + a))*lo
g(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + 3*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x
+ a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + 4*(a*cos(b*x + a)^3 - a*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*si
n(b*x + a) + I) + 3*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(
b*x + a) + 1) - 4*(a*cos(b*x + a)^3 - a*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) + 6*(cos(b*x + a
)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 6*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, c
os(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) -
6*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^3*cos(b*x + a)^3 - b^3*cos(b
*x + a))

Sympy [F]

\[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int x^{2} \csc ^{3}{\left (a + b x \right )} \sec ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

[In]

integrate(x**2*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral(x**2*csc(a + b*x)**3*sec(a + b*x)**2, x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2205 vs. \(2 (197) = 394\).

Time = 0.53 (sec) , antiderivative size = 2205, normalized size of antiderivative = 9.38 \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(a^2*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x +
a) - 1)) + 4*(8*(b*x*cos(6*b*x + 6*a) - b*x*cos(4*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a)
- I*b*x*sin(4*b*x + 4*a) - I*b*x*sin(2*b*x + 2*a) + b*x)*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + 8*(b*x*cos(
6*b*x + 6*a) - b*x*cos(4*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a) - I*b*x*sin(4*b*x + 4*a) -
I*b*x*sin(2*b*x + 2*a) + b*x)*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) - 2*(3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + (
3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*cos(6*b*x + 6*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*cos(4*b*x + 4*a) - (
3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*cos(2*b*x + 2*a) - (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x + a)*a - 2*I)*sin(6*b*x + 6
*a) - (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 2*I)*sin(4*b*x + 4*a) - (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 2*I)*s
in(2*b*x + 2*a) + 2)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + 4*(cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*
b*x + 2*a) + I*sin(6*b*x + 6*a) - I*sin(4*b*x + 4*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x +
a) - 1) - 6*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a)*cos(6*b*x + 6*a) - ((b*x + a)^2 - 2*
(b*x + a)*a)*cos(4*b*x + 4*a) - ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a)*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x +
a)*a)*sin(6*b*x + 6*a) - (I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a)*sin(4*b*x + 4*a) - (I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a
)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + 4*(-3*I*(b*x + a)^2 + 2*(b*x + a)*(3*I*a - 1) +
2*a)*cos(5*b*x + 5*a) + 8*(I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a)*cos(3*b*x + 3*a) + 4*(-3*I*(b*x + a)^2 + 2*(b*x +
a)*(3*I*a + 1) - 2*a)*cos(b*x + a) + 8*(cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(6*b*x
+ 6*a) - I*sin(4*b*x + 4*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - 8*(cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b
*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(6*b*x + 6*a) - I*sin(4*b*x + 4*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*dilog(-I*e^(I
*b*x + I*a)) + 12*(b*x*cos(6*b*x + 6*a) - b*x*cos(4*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a)
- I*b*x*sin(4*b*x + 4*a) - I*b*x*sin(2*b*x + 2*a) + b*x)*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 12*(b*x*cos(6*b*x + 6*a) -
b*x*cos(4*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a) - I*b*x*sin(4*b*x + 4*a) - I*b*x*sin(2*b
*x + 2*a) + b*x)*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x + a)*a + (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x +
a)*a - 2*I)*cos(6*b*x + 6*a) + (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 2*I)*cos(4*b*x + 4*a) + (3*I*(b*x + a)^2
- 6*I*(b*x + a)*a + 2*I)*cos(2*b*x + 2*a) + (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(6*b*x + 6*a) - (3*(b*x + a
)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(4*b*x + 4*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*I)*log(co
s(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + (3*I*(b*x + a)^2 -
6*I*(b*x + a)*a + 2*I)*cos(6*b*x + 6*a) + (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x + a)*a - 2*I)*cos(4*b*x + 4*a) + (-3*I*
(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x + a)*a - 2*I)*cos(2*b*x + 2*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(6*b*x + 6*a) +
(3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(4*b*x + 4*a) + (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 2)*sin(2*b*x + 2*a) +
2*I)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(I*b*x*cos(6*b*x + 6*a) - I*b*x*cos(4*b*x
+ 4*a) - I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) - b*x*sin(6*b*x + 6*a) + b*x*sin(4*b*x + 4*a) + b*x*sin(2*b*x + 2*a) + I*b*x)*
log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + 4*(-I*b*x*cos(6*b*x + 6*a) + I*b*x*cos(4*b*x + 4*a
) + I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) + b*x*sin(6*b*x + 6*a) - b*x*sin(4*b*x + 4*a) - b*x*sin(2*b*x + 2*a) - I*b*x)*log(c
os(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + 12*(I*cos(6*b*x + 6*a) - I*cos(4*b*x + 4*a) - I*cos(2*b
*x + 2*a) - sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a) + I)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + 12*(-I*
cos(6*b*x + 6*a) + I*cos(4*b*x + 4*a) + I*cos(2*b*x + 2*a) + sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x +
2*a) - I)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + 4*(3*(b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*(3*a + I) + 2*I*a)*sin(5*b*x + 5*a) -
8*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a)*sin(3*b*x + 3*a) + 4*(3*(b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*(3*a - I) - 2*I*a)*sin(b*x +
a))/(-4*I*cos(6*b*x + 6*a) + 4*I*cos(4*b*x + 4*a) + 4*I*cos(2*b*x + 2*a) + 4*sin(6*b*x + 6*a) - 4*sin(4*b*x +
4*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I))/b^3

Giac [F]

\[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int { x^{2} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right )^{2} \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^2*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a)^2, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int x^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int \frac {x^2}{{\cos \left (a+b\,x\right )}^2\,{\sin \left (a+b\,x\right )}^3} \,d x \]

[In]

int(x^2/(cos(a + b*x)^2*sin(a + b*x)^3),x)

[Out]

int(x^2/(cos(a + b*x)^2*sin(a + b*x)^3), x)